Brody Buildung

⋄ Kapitalistische Wirtschaften lassen sich durch Input-Output-Matrizen/ Leontieffmatrizen analysieren. Planwirtschaften lassen sich durch sie planen.

⋄ Die Lösung für Gleichgewichtszustände, in denen genauso viel produziert wie konsumiert wird, kann allerdings sehr komplex werden.

⋄ Andras Brody vermutete 1997, dass für zufällig erstellte IO-Matrizen die Lösung mit der Matrizengröße einfacher wird.

⋄ Drei Ökonomen haben in der
Economic Systems Research untersucht, ob Brodys Vermutung für reale Wirtschaftsdaten zutrifft.

⋄ Sie zeigten, dass dies nicht der Fall ist, aber es dennoch viele interessante Implikationen, z.B. für das Transformationsproblem, gibt.
Andras Brody (1924-2010)

Die Wunderwelt der Mathematik hält einiges an Magie bereit. So kann es manchmal kommen, dass ein Problem umso einfacher zu lösen ist, je komplexer es wird. Das klingt verlockend. Noch verlockender klingt es, wenn sich dieses Prinzip auf die Berechnung von Volkswirtschaften erstrecken lässt. Schließlich wird die Komplexität moderner Ökonomien gerne als Gegenargument gegen eine Planwirtschaft ins Feld geführt. Brodys Vermutung von 1997 sagt aber genau dies aus: Der Gleichgewichtszustand einer Leontieff-Matrix, also eines riesigen Zahlenpaketes, das sämtliche Produktion und Konsumtion einer Gesellschaft auflistet, ist umso leichter zu berechnen, je größer die Matrix ist.

In der Theorie ist Brodys Vermutung bereits mehrfach bewiesen worden. Empirisch wurden einige wenige Datensätze untersucht; mit eher negativem Ergebnis. Daher haben Anwar Shaikh, Luiza Nassif-Pires und José Alejandro Coronado in der aktuellen Economic Systems Research über 300 Matrizen aus realen Wirtschaftsdaten untersucht. Was sie herausgefunden haben und was Brodys Vermutung für das Transformationsproblem bedeutet, darüber gibt der folgende Artikel Auskunft.

Das Problem

Eine Volkswirtschaft lässt sich in Form großer Input-Output-Matrizen (näheres hier) erfassen, welche darstellen, wie sich die Veränderung des Bedarfs eines Betriebes auf die gesamte restliche Volkswirtschaft auswirkt. Mit Hilfe solcher Matrizen lässt sich auch die benötigte Arbeitszeit, sowie Rohstoffe für eine sozialistische Planwirtschaft berechnen. Es gibt Gleichgewichtszustände, in welcher der Bedarf aller Konsument*innen und Betriebe durch die aufgewandte Arbeitszeit und Produktion genau gedeckt ist. Dieser Zustand ist optimal, schließlich wollen wir weder zu wenig, noch zu viel produzieren. Probleme entstehen bei Änderungen derProduktionsweise. Da in modernen Volkswirtschaften sehr viele Betriebe an der Herstellung eines einzigen Produktes beteiligt sind, wirkt sich eine Änderung in einem Betrieb auch auf sehr viele andere Betriebe aus. Und nicht nur das. Auch der Betrieb, von dem die ursprüngliche Änderung ausging, kann über eine Kette von Zusammenhängen, selbst nochmal betroffen sein. Ein Beispiel:

eigene Abbildung

Der neue Gleichgewichtszustand muss über ein stufenweises Näherungsverfahren, ein so genanntes iteratives Verfahren gefunden werden. Dafür gibt es verschiedenste mathematische Wege. Die Frage ist nur, ob die Datenmengen einer Volkswirtschaft nicht die Rechenleistung selbst modernster Rechner übersteigen.

Brodys Vermutung

Je komplexer eine Wirtschaft, umso schwerer müsste ein neuer Gleichgewichtszustand zu finden sein. Das leuchtet ein. Dass es sich aber genau umgekehrt verhalten könnte, hat 1997 Andras Brody in einem aufsehenerregenden Dossier herausgefunden. Andras Brody (1924-2010) war ein ungarischer marxistischer Ökonom. Sein 1970 erschienenes Buch Proportion, Prices and Planning wurde weltweit gelesen und gilt als das Werk, dass die marxistische Kritik der politischen Ökonomie am besten in die mathematische Sprache der Input-Output-Matrizen übersetzte.

Brody testete 1997 zufällig erstellte IO-Matrizen und fand heraus, dass die Anzahl der benötigten Iterationsschritte, um den Gleichgewichtszustand einer Volkswirtschaft mit n Betrieben auf die vierte Nachkommastelle genau zu berechnen, um n-0,5 abnimmt.

Um es kurz ausführlicher zu erklären: Ein Input-Output-Matrix besteht aus einer Verflechtungsmatrix (die angibt, welcher Betrieb für welchen produziert), einem Konsum- und einem Produktionsvektor. Die Matrix soll ein geschlossenes System darstellen, das heißt: Alles was produziert wird, wird auch von anderen Betrieben oder den Konsument*innen konsumiert. Ändert sich nun in in der Nachfrage oder in der Veflechtungsmatrix ein Element, muss das ganze System so neu berechnet werden, dass erneut ein geschlossenes System herauskommt. Dafür gibt es ein mathematisches Verfahren, bei dem ein langes Polynom, also eine riesige Summe der Form:

ausgerechnet werden muss und zwar immer wieder neu, bis sich das Ergebnis nicht mehr ändert und ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Die Zeichen l stehen dabei für Koeffizienten, die nach Größe geordneten werden, sodass der Betrieb x, der am stärksten von der Änderung betroffen ist ganz vorne steht.

Andras Brody hat nun gezeigt, dass l2 umso kleiner im Vergleich zu l1 wird, je größer die Gesamtmatrix ist. Geht die Größe der Matrix gegen unendlich, dann geht l2 gegen 0 und nur der erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung bleibt übrig. Da n für die Anzahl aller Betriebe steht, die Summe also zehntausende von Summanden umfassen würde, wird klar, um wieviel einfacher die Gleichung wird. Um ein kleines Zahlenbeispiel zu nennen: Bei der Berechnung einer 3×3-Matrix benötigt man 6 Iterationen, um eine Lösung zu finden, die auf die vierte Nachkommastelle genau ist. Bei einer 6×6-Matrix ist es nur noch einer. Volkswirtschaften um fassen zehntausende n.

Wichtig zu sagen ist, dass rein mathematisch Brodys Vermutung für zufällige Matrizen bestens bewiesen ist. Selbst für Werte, die einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gehorchen, konnte die Korrektheit bereits aufgezeigt werden.

Die Studie

Brodys Erkenntnis hat nur einen Haken: Er hat nur zufällig konstruierte Matrizen untersucht. Reale Leontieff-Matrizen, die echte Volkswirtschaften abbilden, sind jedoch nicht zufällig. Es könnte sein, dass die innere Struktur einer Ökonomie dazu führt, dass Brodys Vermutung nicht mehr gilt. Genau das untersuchten Anwar Shaikh, Luiza Nassif-Pires und José Alejandro Coronado. Dafür analysierten sie 307 Leontieff-Matrizen aus einem Zeitraum 30 Jahren. Und sie müssen leider Wasser in den Wein gießen. Fast keine Vorhersage von Brodys Vermutung ließ sich an den empirischen Daten bestätigen.

Da nach Brody nur der erste Koeffizient l1 einen hohen Wert haben sollte, alle anderen Koeffizienten jedoch gegen 0 gehen sollten, müsste das theoretische Diagramm aussehen, wie ein gekipptes L. In den empirischen Werten hat sich jedoch gezeigt, dass die Werte der Koeffizienten mit Matrizengröße zwar sinken. Aber weder gehen sie gegen 0, noch fallen sie so scharf ab, wie nach Brodys Vermutung zu erwarten gewesen wäre. Die Schlussfolgerung: Reale Volskwirtschaften unterscheiden sich offensichtlich erheblich von zufällig erstellten Datensetzen. Auf Grund impliziter Strukturen stellt sich die Lösung für die Leontieffmatrizen also leider nicht so leicht dar, wie von Brody angenommen.

Doch auch dieser Aber hat ein Aber: Die Lösung des Eigenwertproblems, also des Gleichgewichtszustandes der Leontieffmatrix, hängt stark von der Art der Datenerfassung ab. Da alle untersuchten Matrizen nur Aggregate anderer Wirtschaftsdaten und kleinerer Matrizen sind, könnte dies das Ergebnis negativ verfälschen. Da in einer Planwirtschaft Daten unmittelbar aufgenommen und verarbeitet werden, käme das Problem vielleicht wieder näher an die Ausgangsvoraussetzung für Brodys Vermutung heran, als die untersuchten Datensätze.

Brodys Vermutung und das Transformationsproblem

Die Autoren der Studie beleuchten noch einen sehr interessanten Aspekt. Sollte Brodys Vermutung zutreffen, bedeutete dies auch, dass Marxens Berechnung der Preise über die Durchschnittsprofitrate exakt richtig wäre. Damit wäre die Arbeitswertlehre bestätigt und das Transformationsproblem gelöst.

Zur Erinnerung: Das Transformationsproblem (näheres hier) ist die Frage, wie Waren als Vergegenständlichung menschlicher Arbeit in Preise umgerechnet werden. Mathematisch formuliert lautet die Frage, ob sich ein Gleichungssystem finden lässt, mit dem sich die Transformation von Werten in Preise berechnen lässt. Da in jeder Gleichung einmal die Arbeitszeit, einmal der Preis und in allen die Durchschnittsprofitrate vorkommt, gibt es immer eine Unbekannte zu viel, um das Gleichungssystem exakt zu lösen. Es müssen also Kniffe und Wege gefunden werden, eine Unbekannte zu beseitigen.

Nach Brodys Vermutung hätten sich bei hinreichend großen Leontieffmatrizen die Lösungen sowohl für die Arbeitszeiten als auch für die Arbeitswerte als einfache lineare Funktionen in Abhängigkeit der Durchschnittsprofitrate darstellen lassen. Die Folge: Die Lohn-Profit-Kurven wären ebenfalls linear. Als Kritik an der Marxschen Methode postulierte der bekannte Ökonom Piero Sraffa aber kurvige Lohn-Profit-Kurven. Die Empirie gibt keinem von beiden so richtig Recht. Auch wenn sich Brodys Vermutung letztendlich nicht bestätigte, waren dennoch die Lohn-Profit-Kurven annähernd linear, sodass man einen starken Case für die Marxsche Umrechnung machen kann.

Auch auf die Gefahr hin, etwas zu viel Realismus in die abstrakten mathematischen Modelle hineinzuinterpretieren, könnte man historisch-materialistisch argumentieren: Die Transformation der Werte und Preise fertigte Marx für eine kapitalistischen Gesellschaft in ihrem ideellen Durchschnitt an. Das bedeutet: kein Sektor dominiert und die Größen der Kapitale sind zufällig verteilt, so wie es die Voraussetzung für Brodys Vermutung ist. Für eine frühe liberale Marktwirtschaft ist das vielleicht auch wirklich ein zutreffendes Modell. Je mehr implizite Strukturen es jedoch in einer Wirtschaft gibt – Leitsektoren, Dominanzen, Renten, etc. – desto mehr weicht eine Wirtschaft von Brodys Prämissen auch real ab, desto mehr Iterationen benötigt man, um angemessene Preise zu erhalten und desto schlechter funktioniert Marxens Transformationsansatz. Somit könnte die allgemeine Durchschnittsprofitrate und ihr Wirken nicht mehr so leicht für den Staatsmonopolkapitalismus oder imperialistische Mächte empirisch festgestellt werden. Je hierarchischer, politisch durchdrungener und ungleicher eine Ökonomie ist, desto weniger werden Waren über ihre Arbeitswerte definiert. Das macht durchaus Sinn, wenn wir uns die beiden Beispiel für extrem unliberale Ökonomien zur Hand nehmen. In einer Monopolwirtschaft kann der Monopolist die Preise sehr beliebig unabhängig von der vergegenständlichten Arbeit festlegen. In einer Planwirtschaft, die komplett ohne Profite auskommt, entfällt die Transformation über die Durchschnittsprofitrate ohnehin vollständig. Kurz: Die Marxsche Transformation von Werten in Preise ist also nicht prinzipiell richtig oder falsch, sondern ihre Tauglichkeit hängt von der Gestalt der Ökonomie selbst ab.

Zusammenfassung

Während Brodys Vermutung für zufällige Matrizen mathematisch zweifelsfrei bewiesen ist, haben Shaikh, Nassif-Pires und Coronado unter Zuhilfenahme sehr großer Datensätze aufgezeigt, dass sie für reale Volkswirtschaften nicht zutrifft. Das heißt nicht, dass sie auf eine sinnvolle Genauigkeit nicht komplette Volkswirtschaften mit Hilfe moderner Computer berechnen ließen, es ist nur nicht ganz so schön einfach. Jedoch liegt das Problem nicht allein am Unterschied zwischen Theorie und Praxis, sondern an der Struktur der jeweiligen Ökonomie.

Blicken wir in die revolutionäre Zukunft, könnte man es so formulieren: Es ist garnicht von Vorteil für die Berechnung einer Planwirtschaft, diese in großen Kombinaten zu organisieren. Diese impliziten Strukturen verhindern eher schnelle Lösungen der Input-Output-Matrizen. Eine kleinteilige, verteilte und ausbalancierte Ökonomie könnte den Arbeiter*innen nicht nur mehr Einfluss bei der Gestaltung der konkreten Arbeitsprozesse im Betrieg schaffen, sondern sogar die Arbeit der Gesamtplanung erleichtern.

Literatur:

Brody, A. (1970): Proportions, Prices and Planning. A Mathematical Restatement of the Labor Theory of Value. Amsterdam, London: North Holland.

Brody, A. (1997): The Second Eigenvalue of the Leontief Matrix. In: Economic Systems Research. Jahrgang 9. Ausgabe 3. S.253-259.

Shaikh, A., Nassif-Pires, L. & Coronado, J. (2022): A new Empirical Contribution to an old theoretical Puzzle: What Input–Output Matrix Properties tells us about Equilibrium Prices and Quantities. In: Economic Systems Research. Online First: 2. September 2022. DOI: 10.1080/09535314.2022.2106418

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